Tiheysfunktioiden

Tiheysfunktioiden käsite viittaa jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktioihin sekä niiden jakaumiin. Tiheysfunktio f(x) on ei-negatiivinen funktio, jonka kokonaismäärä on yksi: ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Tiheysfunktion avulla voidaan laskea todennäköisyyksiä siten, että P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Tiheysfunktio liittyy kertymäfunktioon F(x), jonka määritelmä on F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt; F(-∞) = 0 ja F(∞) = 1. Tiheysfunktio ei anna suoraan todennäköisyyttä yksittäiselle arvolle, sillä jatkuvassa jakaumassa yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla; todennäköisyys määritellään pienillä väleillä.

Monimutkaisemmissa tilanteissa voidaan puhua yhteisestä tiheysfunktiosta f_{X,Y}(x,y) tai yleisesti f_X(x) ja f_Y(y). Marginaalit saadaan integraaleilla: f_X(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy. Jos muuttujat ovat riippumattomia, f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y).

Esimerkkejä jatkuvista tiheysfunktioista ovat normaalijakauman tiheys f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)); tasajakauman tiheys f(x) = 1/(b−a) for x ∈ [a,b], 0 muuten; eksponentiaalinen tiheys f(x) = λ e^{-λ x} for x ≥ 0.

Tiheysfunktiot ovat keskeisiä tilastotieteessä ja stokastisessa analyysissä, koska ne mahdollistavat odotusarvojen E[X] = ∫ x f(x) dx sekä varianssin ja muiden momenttien laskemisen. Ne myös mahdollistavat muuttujien muunnokset ja todennäköisyyksien laskennan simuloinnilla.