satunnaismuuttujien

Satunnaismuuttujat ovat tilastotieteen peruskäsite, jolla kuvataan kokeen tai ilmiön satunnaisia tuloksia numeerisesti. Satunnaismuuttuja X määritellään usein todellisen luvun arvojoukkoon R siten, että jokaisella kokeen lopputuloksella ω on siihen liittyvä arvo X(ω). Mallin kokonaisuus koostuu todennäköisyysavaruudesta (Ω, F, P), jonka kautta X:n jakauma määritellään.

X voi olla diskreetti tai jatkuva. Diskreetillä X saa luetteloitavissa olevia arvoja (esimerkiksi onnistumisten lukumäärä binomijakaumassa). Jatkuvalla X on mahdollista saada mitä tahansa arvoja tietyllä välillä (esimerkiksi X ∼ N(μ, σ^2)). Jakauma kertoo X:n odotetun käyttäytymisen: kumulatiivinen jakaumafunktio F_X(t) = P(X ≤ t). Diskreeteillä muuttujilla on todennäköisyysmassafunktio p_X(k) = P(X = k), jatkuvilla tiheysfunktio f_X(x), josta F_X on integraalifunktio.

Odotusarvo E[X] ja varianssi Var(X) kuvaavat keskikohdan ja hajonnan. Monimutkaisemmissa tilanteissa tarkastellaan yhteisjakaumia ja riippuvuuksia: useampi satunnaismuuttuja (X1, X2, …) voidaan määritellä yhdessä, ja niiden riippuvuus vaikuttaa tuloksiin.

Muunnokset ja yhteismuuttujat: Jos Y = g(X), Y:n jakauma johdetaan X:n jakaumasta. Yhteiset määritelmät kattavat myös vektorin X = (X1, X2, …, Xn) ja sen yhteisjakauman. Yleisimmät jakaumahahmot ovat sekä diskreettejä (binomiaalinen, Poisson) että jatkuvia (normaali, Uniform, eksponentiaalinen) jakaumia, ja monimutkaisempia malleja syntyy kombinoimalla niitä. klo