Tiheysfunktiot

Tiheysfunktiot ovat todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen keskeisiä työkaluja, jotka kuvaavat jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumaa. Tiheysfunktio, jota usein merkitään f(x), ei itsessään anna suoraan todennäköisyyttä yksittäiselle arvolle, sillä jatkuvan jakauman todennäköisyys yksittäiselle pisteelle on nolla. Sen sijaan tiheysfunktion arvo kuvaa todennäköisyyden "tiheyttä" tietyn pisteen ympärillä.

Todennäköisyys sille, että jatkuva satunnaismuuttuja X saa arvon väliltä a ja b, saadaan integroimalla tiheysfunktio f(x) kyseisellä välillä: P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx. Tämä integraali vastaa tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa kyseisellä välillä.

Tiheysfunktion on täytettävä kaksi ehtoa: sen on oltava ei-negatiivinen, eli f(x) ≥ 0 kaikilla x, ja sen koko integraalin on oltava yksi, eli ∫[-∞, ∞] f(x) dx = 1. Tämä jälkimmäinen ehto varmistaa, että satunnaismuuttujalle on jokin arvo todennäköisyydellä yksi. Yleisiä esimerkkejä tiheysfunktioista ovat normaali- tai Gaussin jakauma, tasainen jakauma ja eksponenttijakauma.