tiheysfunktiosta

Tiheysfunktio (tiheys) kuvaa jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumaa. Oletetaan X olevan jatkuva satunnaismuuttuja ja f(x) sen tiheysfunktio. Tiheysfunktio on aina ei-negatiivinen ja sen kokonaisintegraali on 1: ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Todennäköisyys sille, että X kuuluu väliin (a, b), on ∫_a^b f(x) dx. Kumulatiivinen jakaumafunktio F määritellään F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Jos F on derivoituva, sen derivaatta on F'(x) = f(x).

Monimutkaisemmissa tapauksissa voidaan puhua yhteistensiteyystiheydestä f_{X,Y}(x,y) tai yleisemmin tiheydestä suhteessa Lebesguein mittaiseen tilaan. Marginaalitiheys saadaan integroimalla toisen muuttujan yli: f_X(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy. Ehdollinen tiheys f_{Y|X}(y|x) = f_{X,Y}(x,y)/f_X(x) kun f_X(x) > 0.

On tärkeää, että continuous-jakauman tapauksessa P(X = x) = 0; tiheys ei siis ole todennäköisyys per piste, vaan tiheysarvo per yksikkö. Jakauman olemassaolo tiheysmuodossa tarkoittaa, että jakauma on absoluuttisesti yhtenäinen Lebesgue-mitalle ja sillä on tiheysfuntio.

Esimerkkejä yleisistä tiheysfunktioista: normaalijakauma f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)²/(2σ²)); tasajakauma f(x) = 1/(b−a) for x ∈ [a,b], 0 muuten; eksponentiaalijakauma f(x) = λ e^{-λx} for x ≥ 0. Tiheysfunktio on keskeinen käsite tilastollisessa päättelyssä, estimoinnissa ja muuttujien välisessä riippuvuuden mallintamisessa, sekä yhteydessä kumulatiiviseen jakaumaan ja transformaatiomatematiikkaan.