Teilkategorien

Teilkategorien sind eine strukturierte Teilmenge einer Kategorie in der Kategorientheorie. Gegeben eine Kategorie C bezeichnet man eine Teildkategorie D von C, wenn Objekten von D Objekte von C entsprechen und für alle Objekte X und Y in D die Morphismen Hom_D(X,Y) eine Teilmenge der Morphismen Hom_C(X,Y) bilden. Dabei enthalten die Identitätsmorphismen id_X von Objekten X in D die entsprechenden Identitäten in C, und die Verkettung von Morphismen in D verläuft wie in C. Damit bleibt die gesamte Struktur der Originalkategorie erhalten, nur ein Teil davon wird betrachtet.

Verschiedene Varianten entstehen durch die Auswahl der Morphismen. Ist Hom_D(X,Y) gleich Hom_C(X,Y) für alle X,Y in Ob(D), spricht man von einer vollen Teildkategorie (full subcategory). Gibt es zusätzlich eine Untermenge der Objekte, über die D definiert ist, so spricht man von einer Unterkategorie. Im Allgemeinen kann eine Teildkategorie sowohl Objekte als auch Morphismen aus C filtern, wobei die Abschlussbedingungen für Identitäten und Verkettung erfüllt bleiben.

Beispiele sind gängig in der Literatur: Die Kategorie Grp der Gruppen enthält als volle Teildkategorie Ab der abelschyn Gruppen (Ab) – die Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen sind genau die Gruppenhomomorphismen. Eine weitere häufig genutzte Teildkategorie ist FinSet, die volle Unterkategorie von Set aus endlichen Mengen. Die Inklusionsfunktor-I: D → C ordnet Objekte und Morphismen in D denselben Objekten bzw. Morphismen in C zu und veranschaulicht so die Einbettung von D als Unter- oder Teilbereich von C. Teilkategorien ermöglichen gezielte Aussagen über Strukturen, die in einer größeren Kategorie vorliegen.