Tasojoukko

Tasojoukko (level set) on käsite matematiikassa, jolla tarkoitetaan joukkoa pisteitä, joille jokin funktio f saa saman arvon c. Jos f on mapitettu alueelta R^n johonkin R-arvoon, tasojoukko määritellään L_c = { x ∈ D ⊆ R^n | f(x) = c }. Tasojoukot voivat olla erilaisia muotoja: ne voivat olla käyriä tai pintamaisia riippuen tilavuuden ulottuvuudesta sekä siitä, miten f käyttäytyy.

Kun f on jatkuva, tasojoukko L_c on suljettu joukko, koska {c} on suljettu ja L_c on f:n esijoukko. Jos f on derivoituva ja c on säännöllinen arvo (gradientti ei ole nolla kaikilla x ∈ L_c), tasojoukko on paikallisesti (n−1)-ulotteinen monimuuttujainen alijoukko, jonka järjestys seuraa implicit-function-theoremista.

Esimerkkejä: f(x,y) = x^2 + y^2. Tietyllä c = r^2 tasojoukko on ympyrä, jonka säde on r. Kolmiulotteisessa tilassa f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 antaa tasojoukon, joka on pallon pinta, jonka säde on √c.

Sovelluksia tasojoukoilla on laajasti geometriassa, analyysissä ja kuvankäsittelyssä. Level-set -menetelmät, joissa tasojoukot kuvaavat liikkuvia rajapintoja, ovat vakiintuneita työkaluja muodonmuutosten ja reaaliaikaisen simuloinnin ongelmissa. Tasojoukkojen käsite auttaa ymmärtämään ja jäsentämään saatuja tasoja sekä niiden muutoksia eri funktioissa.