monimuuttujainen

Monimuuttujainen on käsite, jota käytetään kuvaamaan ilmiöitä, jotka riippuvat useammasta kuin yhdestä muuttujasta. Matematiikassa sillä viitataan usein funktioon tai systeemin ominaisuuteen, jossa on useita riippuvia muuttujia. Esimerkiksi f: R^n → R on monimuuttujainen funktio, jossa muuttujia ovat x1, x2, ..., xn ja n > 1.

Monimuuttujaisen laskennan keskeisiä käsitteitä ovat osittaisderivaatat, gradientti ja Hessian sekä kriittiset pisteet. Näiden avulla voidaan analysoida, kuinka pienet muutokset eri muuttujissa vaikuttavat tulosfunktioon.

Tilastotieteessä monimuuttujainen viittaa satunnaisvektoriin X = (X1, ..., Xk) ja sen yhteisjakaumaan. Keskeisiä ovat odotusarvot, kovarianssi ja korrelaatiot; yleinen malli on monimuuttujainen normaalijakauma, jossa muuttujat voivat olla riippuvaisia toisistaan.

Data-analyysissä käytetään monimuuttujaisia menetelmiä kuten pääkomponenttianalyysi (PCA) dimensiovähennykseen, monimuuttujaregressio, faktorienalyysi, canonical correlation sekä klusterointi. Näiden avulla voidaan ymmärtää useita ominaisuuksia samanaikaisesti ja löytää piileviä rakenteita.

Esimerkki: f(x,y) = x^2 + y^2 on kahden muuttujan funktio; sen tasojen ja kuvioiden tutkiminen osoittaa, kuinka muuttujat vaikuttavat toisiinsa. Haasteina ovat korkea ulottuvuus sekä siihen liittyvä datamäärän ja laskennan kasvu.