yhteisjakaumaan

Yhteisjakauma kuvaa kahden tai useamman satunnaismuuttujan X ja Y sekä mahdollisten yhteisten arvojen todennäköisyyksiä. Se kertoo, miten muuttujat esiintyvät yhdessä ja miten niiden reunion erilaiset yhdessähavaitut arvojakaumat syntyvät.

Diskreetin tilanteen yhteisjakauma määritellään yhteispitoisuusfunktiolla p(x,y), jonka arvo on todennäköisyys sille, että X = x ja Y = y. Toisten arvojen todennäköisyydet saadaan kertymällä: marginaalijakaumat p_X(x) = ∑_y p(x,y) ja p_Y(y) = ∑_x p(x,y). Jatkuvan muuttujan tapauksessa yhteisjakaumana toimii yhteisjakaumapisteiden tiheys f_{X,Y}(x,y), jonka kaksoisintegraali koko suurin aplikaatioalueella on 1. Marginaalit saadaan integraaleilla f_X(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy ja f_Y(y) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dx.

Riippumattomuus tarkoittaa, että X ja Y ovat itsenäisiä: sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa yhteisjakauma voidaan kertoa marginaalijakaumilla, eli p(x,y) = p_X(x) p_Y(y) tai f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y). Tällöin Y:n jakautuminen ei riipu X:n arvosta, ja päinvastoin. Saatetaan tarkastella myös ehdollisia jakaumia: Y:n jakautuminen ehdolla X = x on p_{Y|X}(y|x) = p(x,y)/p_X(x) (diskreetti) tai f_{Y|X}(y|x) = f_{X,Y}(x,y)/f_X(x) (jatkuva).

Yhteisjakaumaa käytetään yleisesti tutkimaan riippuvuuksia ja yhteyksiä muuttujien välillä sekä mallintamaan niiden tilastollista rakennetta esimerkiksi taloudessa, meteorologiassa ja riskienhallinnassa. Tiheys- tai massafunktioiden muoto antaa kokonaiskuvan muuttujien suhteista, ja erityyppiset malleja, kuten bivariate normaalijakauma tai riippuvuusrakenteet copuloiden avulla, laajentavat käyttökohteita.