yhteisjakauma

Yhteisjakauma kuvaa kahden tai useamman satunnaisvaihtujan X ja Y yhteistä todennäköisyysjakaumaa eli sitä, miten niiden arvojen vaihtelu esiintyy yhdessä. Se antaa käsityksen muuttujien riippuvuudesta ja siitä, miten muutokset yhdessä vaikuttavat todennäköisyyksiin. Jakauma voidaan määritellä sekä discrete- että continuous-määritelmissä.

Discrete-tapauksessa yhteisjakauma p(x,y) antaa todennäköisyyden, että X saa arvon x ja Y arvon y samanaikaisesti: p(x,y) = P(X = x, Y = y). Kaikki parien todennäköisyydet summautuvat yhteen: ∑∑ p(x,y) = 1. Continuous-tapauksessa yhteisjakauma tunnetaan yhteisen tiheysfunktion f_{X,Y}(x,y), jonka kautta todennäköisyydet lasketaan kaksoisintegraalilla: ∫∫ f_{X,Y}(x,y) dx dy = 1. Yhteisjakauman CDF on F_{X,Y}(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y).

Marginaalit voidaan saada erillisjakaumista. Diskreetissä p_X(x) = ∑_y p(x,y) ja p_Y(y) = ∑_x p(x,y). Jatkuvissa f_X(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy ja f_Y(y) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dx.

Riippuvuus ja riippumattomuus: X ja Y ovat riippumattomia, jos yhteisjakauma faktoroituu marginaaleihin, esimerkiksi f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) tai p(x,y) = p_X(x) p_Y(y). Jos ei ole, yhteisjakauma sisältää riippuvuuden rakennetta. Conditional-jakaumat löytyvät esimerkiksi f_{Y|X}(y|x) = f_{X,Y}(x,y)/f_X(x).

Sovellukset ulottuvat moniin tilastollisiin menetelmiin ja mallinnuksiin, kuten monimuuttujatilastoihin, regressioihin sekä riippuvuuden kuvaamiseen copuloiden avulla. Yhteisjakauma muodostaa perustan kaikille näiden muuttujien yhteiselle todennäköisyys- ja tietomuodolle.