Tangentpunkter

Tangentpunkter är punkter där en kurva eller en yta har en tangentlinje eller tangentplan som rör den vid punkten utan att skära den i närheten. På en tvådimensionell kurva y=f(x) är en tangentpunkt p=(x0, f(x0)) där derivatan f′(x0) finns och tangentlinjen vid p har samma lutning som kurvan i närheten. I implicit form F(x,y)=0 är tangentlinjen vid (x0,y0) given av gradienen ∇F(x0,y0) · (x−x0, y−y0)=0.

För att hitta tangentpunkter används olika metoder beroende på hur kurvan presenteras. För explicita kurvor används derivatan; för implicit form används gradienten som normalvektor till kurvan och tangentlinjen är vinkelrätt mot gradienten. För en parametrisera kurva r(t) ges tangentriktningen av vektorn r′(t0) vid den aktuella tiden t0, och tangentpunkten är r(t0).

Exempel: För cirkeln x^2 + y^2 = r^2 är en tangentlinje vid punkt (x0,y0) där x0^2 + y0^2 = r^2. Avståndet från centrum till tangentlinjen är r. För parabolen y = x^2 är tangentpunkten vid a värdet (a, a^2) och tangentlinjen är y = 2a x − a^2. Två cirklar kan vara exakt tangent vid en gemensam tangentpunkt om avståndet mellan deras centrum är summan av deras radii.

Användningar och begrepp: Tangency är central i geometri, optik, CAD och datorgrafik. Inom algebraisk geometri betyder tangency att kurvan berör en annan kurva eller yta med kontakt av högre ordning än vanlig skärning (ordning ≥ 2).