tangentlinje

En tangentlinje til en kurve på et gitt punkt er en rett linje som berører kurven i dette punktet og har samme helning som kurven i det punktet. I geometriske termer er den en førsteordens tilnærming til kurven ved punktet, slik at den mest nøyaktig beskriver kurvens lokale retning der.

For en differentiabel funksjon y = f(x) har tangentlinjen ved et punkt x = a ligningen y = f(a) + f'(a)(x - a), der f'(a) er den deriverte ved a. Dette følger av grenseverdien for stigningstallet til sekantlinjen mellom (a, f(a)) og (x, f(x)) når x nærmer seg a.

Eksempel: For y = x^2 er f'(a) = 2a. Ved a = 2 blir tangentlinjen y = 4 + 4(x - 2) = 4x - 4.

For kurver definert eksplisitt ved y = f(x) kan tangentlinjen også beskrives som den linjen som har samme stigning som funksjonen i det gitte punktet og møter kurven der. For en implicit kurve F(x, y) = 0 er tangentlinjen ved punktet (x0, y0) gitt av F_x(x0, y0)(x - x0) + F_y(x0, y0)(y - y0) = 0, hvor F_x og F_y er de delvise deriverte ved (x0, y0).

Et konkret tilfelle er en sirkel x^2 + y^2 = r^2. Tangentlinjen ved et punkt (x0, y0) på sirkelen er x0 x + y0 y = r^2. Tangentlinjer spiller en grunnleggende rolle i geometri, analyse og anvendelser som optikk og mekanikk.