Sucesión

En matemáticas, una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros naturales y cuyo codominio es un conjunto A. A cada índice n≥1 se asigna un término a_n ∈ A. Las sucesiones suelen indicarse como (a_n)_{n∈N} o {a_n}. Pueden definirse explícitamente, con una fórmula para a_n, o de forma recursiva, mediante una regla que determina a_n a partir de términos anteriores.

Ejemplos: una sucesión aritmética tiene la forma a_n = a_1 + (n-1)d, donde d es la diferencia común. Una sucesión geométrica tiene a_n = a_1 r^{n-1}, con razón r. Secuencias pueden ser finitas o infinitas; a ser finita se considera habitualmente cuando se detiene tras un número de términos.

Convergencia: decimos que la sucesión converge a L si, para todo ε>0, existe N tal que n≥N implica |a_n − L| < ε. Si no existe tal L, la sucesión se dice que diverge. Una condición clásica es que si una sucesión es monótona (no decreciente o no creciente) y acotada, entonces converge.

Recurrencia y subsecuencias: muchas sucesiones se definen por recurrencias. Una subsecuencia es una sucesión formada eligiendo índices cada vez mayores. Por el teorema de Bolzano–Weierstrass, en los cuerpos completos, toda sucesión acotada tiene una subsecuencia convergente.

Uso y contextos: las sucesiones son objetos centrales en análisis, análisis real y en informática teórica, y se emplean para modelar procesos que avanzan con el tiempo o que se aproximan a un valor.