Stödfunktionerna

Stödfunktionerna är en grupp funktioner kopplade till en mängd K i rum som ℝ^n. Den centrala definitionen är h_K(u) = sup { u · x : x ∈ K }, där u är en vektor och x dot-producing innerprodukt med x i K. Funktionen mäter alltså den största projektionen av K i riktningen u.

Om K är icke-tom och konvex följer att h_K är en stötvardon (sublineal) funktion i u: den är konvex och positivt homogen (h_K(αu) = α h_K(u) för α ≥ 0) samt subadditiv (h_K(u+v) ≤ h_K(u) + h_K(v)). Om K är kompakt blir h_K finitevärd och kontinuerlig. För obundet K kan h_K utgå som +∞ i vissa riktningar.

Geometriskt motsvarar h_K avståndet till stödlinjen/nehållande hyperplan med yttre normal riktad av u. Det finns alltid x0 ∈ K så att h_K(u) = u · x0 när K är konvex och sluten. För polyeder är stödfunktionen linjär inom varje gedefinierad riktning och ger en styckvis linjär kvalitativ bild av K.

Relationer och tillämpningar: polar-kroppen K° definieras som {u : h_K(u) ≤ 1}. Stödfunktionen är också den konjugerade funktionen till indikatorfunktionen δ_K, dvs h_K = δ_K*. Den används för att beskriva duala optimeringsproblem, bestämma dualnormer (om K är en enhetsboll för en norm är h_K den motsvarande duala normen) och vid analys av Minkowskiska summor och konvexa målfunktioner.

Sammanfattningsvis ger stödfunktionerna ett verktyg för att förstå och characterisera konvexa mängder genom deras största projektioner i olika riktningar.