SparseRekonstruktion

Sparse Rekonstruktion bezeichnet die Wiederherstellung von Signalen oder Bildern aus unvollständigen oder verrauschten Messungen unter der Annahme, dass die Darstellung des Signals in einer geeigneten Basis oder einem Wörterbuch nur wenige Koeffizienten ungleich Null besitzt. Damit gehört sie zu den Klassen der inversen Probleme, die durch Regularisierung oder Prioren gelöst werden.

Mathematisch lässt sich das Problem oft als y = A x + n modellieren, wobei y der Messvektor ist, A die Messmatrix, x ein Vektor mit sparsamer Darstellung und n Rauschen. Ziel ist es, die sparsamen Koeffizienten zu schätzen, sodass A x möglichst gut zu den Messungen passt. Direktes Minimieren der L0-Norm von x ist NP-schwer, daher wird häufig die L1-Norm als Convex-Relaxation verwendet: minimieren ||x||1 unter der Nebenbedingung ||A x - y||2 ≤ ε oder alternativ minimieren ||A x - y||2^2 + λ ||x||1.

Zu den gängigen Algorithmen gehören Greedy-Verfahren wie Matching Pursuit, Orthogonal Matching Pursuit und CoSaMP, sowie konvexe Optimierungsmethoden wie Basis Pursuit, Basis Pursuit Denoising und LASSO, oft umgesetzt mit ISTA oder FISTA.

Anwendungen finden sich in der medizinischen Bildgebung (beschleunigte MRT), der Computervision, der Astronomie, Spektroskopie, Audio- und Bildkompression, Superauflösung, Rauschunterdrückung und Inpainting. Typischerweise wird die sparsige Darstellung in einem Transformbereich wie Wavelets, DCT oder fortgeschrittenen Dictionaries genutzt.

Die Theorie der Sparse Rekonstruktion ist eng mit dem Compressed-Sensing-Ansatz verbunden, der um die Jahrtausendwende von Candès, Tao und Donoho formellisiert wurde. Zentrale Konzepte umfassen Sparsity, das Restricted Isometry Property (RIP) sowie Begriffe wie Kohärenz, die die Erkennbarkeit sparsamer Signale aus wenigen Messungen beeinflussen.