Spaltenvertauschungen

Spaltenvertauschung bezeichnet in der linearen Algebra das Vertauschen zweier Spalten einer Matrix oder das systematische Umordnen mehrerer Spalten. Formal lässt sich eine Spaltenvertauschung durch die Multiplikation der Matrix A auf der rechten Seite mit einer Permutationsmatrix P darstellen, die eine Permutation der Standardbasisvektoren beschreibt. Dann gilt A' = A P, wobei A' die Matrix mit vertauschten Spalten ist.

Eigenschaften und Folgen: Durch eine Spaltenvertauschung bleibt der Rang der Matrix unverändert, da lediglich die Spalten umgeordnet werden. Die Determinante ändert ihr Vorzeichen mit jeder Transposition; allgemein gilt det(A P) = det(A) det(P). Für eine einfache Spaltenvertauschung ist det(P) = -1, bei einer Folge von k Vertauschungen det(P) = (-1)^k. Die Permutation bewahrt die lineare Abhängigkeit der Spalten sowie die Dimension des Spaltenraums, verändert jedoch dessen Reihenfolge.

Zusätzliche Überlegungen: Die Spaltenvertauschung beeinflusst das Spektrum im Allgemeinen nicht wie die Matrix selbst; det(A P) hat denselben Betrag wie det(A), aber ggf. mit umgekehrtem Vorzeichen. Falls A invertierbar ist, ist auch A P invertierbar und (A P)^{-1} = P^{-1} A^{-1} = P^T A^{-1}, da P eine Orthogonal-/Inverswert ist.

Anwendungen: Spaltenvertauschungen spielen eine zentrale Rolle im Gausschen Eliminationsverfahren mit Spaltenpivotierung, um geeignete Pivot-Elemente zu finden oder Variablen neu zu ordnen. Sie erscheinen außerdem in der LU-Zerlegung mit Spaltenpivotierung und im allgemeinen Zusammenhang der Permutationsmatrizen, die eine Umordnung der Variablen im linearen Gleichungssystem bewirken.

Beispiel: A = [ [1, 2], [3, 4] ]. Vertauscht man die Spalten, erhält man A P = [ [2, 1], [4, 3] ]. Det(A) = -2, Det(A P) = 2, da Det(P) = -1.