Sonderfunktionen

Sonderfunktionen, auch als spezielle Funktionen bezeichnet, ist ein Oberbegriff in der Mathematik für eine Familie von Funktionen, die häufig als Lösungen von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen auftreten und standardisierte Bezeichnungen, Ordnungen und Eigenschaften aufweisen. Im Gegensatz zu elementaren Funktionen wie Polynom-, Exponential- oder Logarithmusfunktionen lassen sich viele dieser Funktionen nicht durch einfache algebraische Ausdrücke darstellen; sie werden stattdessen durch Differentialgleichungen, Integralrepräsentationen, Reihenentwicklungen oder Grenzprozesse definiert oder charakterisiert.

Zu den bekanntesten Beispielen gehören Bessel-Funktionen Jν(x) und Yν(x), Legendre-Polynome Pn(x) sowie zugehörige Funktionen, Hermite- und Laguerre-Polynome, und die Hypergeometric-Funktionen (insbesondere Gauss’sche 2F1 sowie die confluent hypergeometric functions M(a,b,z) und U(a,b,z)). Weitere zentrale Familien sind die Gamma- und Beta-Funktionen, sowie complete elliptic integrals K(k) und E(k). Oft lassen sich viele dieser Funktionen als spezielle Fälle oder Transformationsformen hypergeometrischer Funktionen darstellen.

Eigenschaften der Sonderfunktionen umfassen Orthogonalität, Rekursionsbeziehungen, Integraleigenschaften und charakteristische Asymptotik. Sie dienen als Lösungsmethoden für physikalische Probleme, beispielsweise Bessel-Funktionen in Zylinderkoordinaten, Legendre-Polynome in Kugelkoordinaten, Hermite-Funktionen in der Quantenmechanik des harmonischen Oszillators oder Laguerre-Funktionen in radiale Schrödinger-Gleichungen.

Historisch entstand der Begriff im 19. Jahrhundert; zentrale Figuren waren unter anderem Euler, Bessel und Legendre. In der heutigen Fachliteratur steht der Begriff für Funktionen, die durch Differentialgleichungen, Grenzfälle oder hypergeometrische Darstellungen charakterisiert sind und eine zentrale Rolle in Mathematik, Physik, Technik und Informatik spielen.