Småsträckningstensoren

Småsträckningstensoren, ofta betecknad ε, är en symmetrisk andraordningens tensor som beskriver deformation i regime med små deformationer. Den definieras som ε_ij = 1/2 (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i), där u är förflyttningsfältet. Småsträckningstensoren erhås genom att ta den symmetriska delen av displacementgradienten ∇u.

Egenskaper och geometri

ε är en symmetrisk tensor med sex oberoende komponenter i tre dimensioner. Spåret av ε ger den volymetriska töjningen (∆V/V) i små-sträckningsteorin, medan den deviatoriska delen beskriver distortions utan volymförändring. Eftersom ε är symmetrisk har den alltid reella egenvärden och kan diagonaliseras till principsträckningar längs lägena axlar.

Koppling till kinematik och begränsningar

Småsträckningstensoren används när deformationerna är små, dvs |∇u| ≪ 1. Vid små rotationer och små deformationer kan ε användas direkt; vid endast rigid kroppsrotation blir ε identiskt noll. För stora deformationer används i stället Green-Lagrange-sträckningen E = 1/2 (F^T F − I).

Användning i materialmodellering

I linjär elasticitet är stress-strain-relationen ofta σ = C:ε, där C är materialets styvhetstensor. I isotropa fall förenklas det till σ = λ tr(ε) I + 2μ ε, med Lamé-konstanterna λ och μ (eller E och ν). Småsträckningstensoren används även i beräkningar av spännfält i strukturer och i materialforskning.

Skrivsätt och tillämpningar

ε används främst inom konstruktionsteori, geoteknik och materialvetenskap där man förutsätter små deformationer och linjära samband mellan töjning och spänning. Beräkningar görs vanligtvis från displacementfältet genom att räkna gradienter och därefter symmetrisera.