diagonaliseras

En kvadratisk matris A över ett fält F är diagonaliserbar om det finns en invertibel matris P sådan att P^{-1} A P är diagonal. I denna bas representeras A av en diagonalmatris där egenvärdena återfinns på diagonalen.

Detta inträffar om A har n linjärt oberoende egenvektorer, dvs summan av dimensionerna av eigensrummen (egenvärdesrummen) är lika med n. Då är A likvärdig med en diagonalmatris.

Om A har n distinkta egenvärden är den alltid diagonaliserbar. Upprepade egenvärden utesluter inte diagonalisation; det krävs att antalet linjärt oberoende egenvektorer är tillräckligt.

Så här diagonaliserar man: Beräkna egenvärdena från determinanten det(A−λI)=0, hitta motsvarande egenvektorer, bygg P med egenvektorerna som kolonner, och sätt D som diagonalmatrisen diag(λ1, …, λn). Om P är invertibel gäller A = P D P^{-1}.

Fältöverväganden: över reella tal är D diagonal med reella egenvärden; om några egenvärden är komplexa krävs att man arbetar över det komplexa fältet. Över ett algebraiskt sluten fält som C är diagonalisation möjlig när det finns en fullständig egenbas.

Relation till Jordanform: A är diagonaliserbar om och endast om dess Jordannormalform består av enbart 1×1-block. Annars innehåller Jordanformen större block, vilket indikerar att A inte är diagonaliserbar.

Användningar: diagonalisationen förenklar beräkningar av potenser A^k och lösningar av differentialekvationer med konstant koefficient.