Skalningardilationer

Skalningardilationer är geometriska transformationer som ändrar storleken på en figure utan att förändra dess form. En dilation med centrum C och skalfaktor k Maps varje punkt P till P' på linjen CP så att CP' = k·CP. Centrumet C är fixerat under hela transformationen.

Om k > 0 bevaras riktningen och enlargement eller reduktion sker utan vändning. Om k < 0 motsvarar det en dilation med faktor |k| följd av en 180 graders rotation kring C; sammanlagt ger den en förändring av storlek och orientering. Avstånd från centrum multipliceras med |k|, medan ytor och volymer förändras med k^2 respektive k^3 i respektive dimension. Om k = 0 kollapsar alla punkter till centrum. I koordinater med centrum i origo ges P' = kP.

Isotropisk skalning (uniform skalning) använder en enda faktor i alla riktningar, medan anisotropisk skalning använder olika faktorer längs olika axlar. I geometrin är dilation en särskild form av en likformig transformation (similaritet) som bevarar linjer, proportioner längs räta linjer som går igenom centrum och bevarar vinklar. En dilatation är därmed en typ av affina transformationer.

I högre dimensioner (3D och uppåt) tillämpas samma principer: dilation runt ett centrum där avståndet till centrum multipliceras med k. Kombinationer av dilationsfaktorer följer regeln att sammanlagd faktor är produkten av delfaktorerna, och vid k = 1 är resultatet identitet.

Användningar förekommer inom geometri, datorgrafik och studier av likformighet och fraktaler. Begreppet används även inom signal- och funktionsanalys där skalning av funktioner beskrivs som dilationer.