SincFunktion

Die Sincfunktion, auch Sinc-Funktion genannt, ist eine fundamentale Funktion in Mathematik und Signalverarbeitung. Es gibt zwei gängige Konventionen, die sich in der Skalierung der Eingabe unterscheiden: Die unnormierte Sinc-Funktion sinc0(x) = sin x / x und die normalisierte Sinc-Funktion sinc1(x) = sin(π x)/(π x). Für beide Definitionen gilt sin(α x)/(α x) mit α = 1 bzw. α = π, und beide sind an der Stelle x = 0 durch den Grenzwert 1 definiert.

Eigenschaften: Beide Funktionen sind gerade und reellwertig. Die unnormierte Sinc hat Nullstellen bei x = ±π, ±2π, …; die normalisierte Sinc hat Nullstellen bei x ∈ Z\{0}. Der Wert bei x = 0 ist jeweils 1. Die Funktionen fallen mit der Größe von |x| ungefähr wie 1/|x| ab. Ihre Fouriertransformierte steht in enger Beziehung zu Rechteckfunktionen: Die Fouriertransformierte einer Rechteckfunktion ist eine Sinc-Funktion, und umgekehrt dient die Sinc-Funktion als Interpolationskern bei bandbegrenzt abgetasteten Signalen.

Verwendung: Die Sincfunktion spielt eine zentrale Rolle in der Nyquist-Shannon-Abtasttheorie und bei der rekonstruktiven Interpolation von Signalen. Sie dient als ideales Filter- bzw. Rekonstruktionsfenster in der Theorie; in der Praxis ersetzt man sie oft durch Fensterfunktionen, um Seiteneffekte zu reduzieren.

Name und Bedeutung: Der Name leitet sich von „sine cardinal“ ab und spiegelt die zentrale Rolle der Funktion in der Theorie der kartesischen Sinusfunktionen wider.