Simpsonregelen

Simpsonregelen, eller Simpson’s regel, är en metod inom numerisk integrasjon som används för att approximera ett definite integral av en funktion genom att anpassa paraboliska bågar över små delintervaller. Den grundas i att en andra gradens polynom kan passa funktionen över ett interval och skapa en enkel areaunderlag.

På ett enda intervall [a, b] används mittpunkten m = (a + b) / 2. Approximationen blir ∫_a^b f(x) dx ≈ (b − a) / 6 [f(a) + 4 f(m) + f(b)]. Detta kallas enkel Simpsonregel.

Komposit Simpsonregel används när intervallet delas upp i n delintervaller (n jämnt) med h = (b − a) / n och x_i = a + i h. Då blir approximationen ∫_a^b f(x) dx ≈ (h / 3) [f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + 4 f(x_3) + … + 2 f(x_{n−2}) + 4 f(x_{n−1}) + f(x_n)]. Denna sammansatta form ger vanligtvis högre noggrannhet än enkla regler för samma antal funktionsvärden.

Felterm och villkor: För ett bra felestimat gäller att f är kontinuerlig på [a, b] och har en kontinuerlig fjärde derivata på intervallet. Felet uppskattas ungefär som −(b − a) / 180 · h^4 · f^(4)(ξ) för något ξ i (a, b). Simpsonregel har ordningen O(h^4) och är särskilt effektiv för jämna och välbetalda funktioner.

Användningar: bredt förekommande inom fysik, teknik och ekonomi där exakta integraler är svåra att få fram men funktionens form är känd.