Scalarisierung

Scalarisierung ist ein Verfahren der Mehrkriteriellen Optimierung. Dabei wird ein Vektor von Zielen F(x) = (F1(x), ..., Fm(x)) durch eine Skalarfunktion φ:F(R^m)→R in eine einzelne Zielfunktion überführt. Das skalare Optimierungsproblem lautet: Minimiere φ(F(x)) mit x ∈ X, wobei X die zulässige Menge ist. Ziel ist es, aus mehreren Zielen eine Rangordnung abzuleiten, die sich durch Standard-Optimierungsverfahren lösen lässt.

Zu den gängigen Skalierungsverfahren gehören:

- Die gewichtete Summe: φ(F)=∑ w_i F_i(x) mit w_i≥0 und ∑ w_i=1. Vorteile: einfach, gut interpretierbar. Nachteile: kann nicht alle Pareto-optimalen Lösungen bei nicht-konvexer Front erreichen; Skalierung der Ziele beeinflusst Ergebnisse.

- Die Tschebyschow-Skalierung (Min-Max): φ(F)=min_x max_i w_i |F_i(x)-z_i^*|, häufig robust gegenüber unterschiedlicher Größenordnung der Ziele.

- Das Epsilon-Constraint-Verfahren: ein Zielfunktions wird minimiert, während die übrigen durch Schranken ε_i begrenzt werden.

- Lexikografische Optimierung und Zielprogrammierung: Ordnung oder Zielabweichungen werden nacheinander minimiert.

Verhältnis zur Pareto-Effizienz: Bei konvexen Problemen liefern gewichtete Skalierungen für geeignete Gewichte alle Pareto-optimalen Lösungen; bei nicht-konvexen Fronten fehlen einige Punkte. Daher wird oft eine Variation der Gewichte oder der Einsatz mehrerer Skalierungsarten empfohlen.

Anwendungen: Ingenieurwesen, Produktions- und Ressourcenplanung, Umwelt- und Wirtschaftswissenschaften sowie in der Informatik, z. B. beim Training von Multi-Task-Learning-Modellen, wo Verluste zu einem skalarisierten Gesamtverlust kombiniert werden.

Kritik: Die Wahl der Skalarisierung ist subjektiv und beeinflusst die gefundenen Lösungen stark; manche Pareto-Punkte sind mit linearen Skalierungen nicht erreichbar; ergänzend können evolutionäre oder parametrisierte Multi-Objective-Ansätze eingesetzt werden.