Sannsynlighetsdensiteten

Sannsynlighetsdensiteten, ofte kalt sannsynlighetsfordelingen for en kontinuerlig variabel, er en ikke-negativ funksjon f som beskriver sannsynligheten for at variabelen X tar verdier i et intervall. For en kontinuerlig tilfeldig variabel X gjelder P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Den totale sannsynligheten over hele utfallsrommet er 1, dvs. ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1, og f(x) ≥ 0 for alle x. Sannsynlighetsdensiteten bestemmer også den kumulative fordelingsfunksjonen F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt, og hvis F er differentiell, er f(x) den deriverte av F: f(x) = F′(x).

En viktig egenskap er at utenfor dens støtte er densiteten vanligvis null. Derfor er sannsynligheten for å få en spesifikk nøyaktig verdi i et kontinuerlig tilfelle alltid null; sannsynlighet må derfor forstås gjennom intervaller.

Eksempler er nyttige for fortolkning. Standardnormaldensiteten er f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)²/(2σ²)), hvor μ er forventningsverdi og σ er standardavvik. Et annet eksempel er uniform fordeling på [a, b], der f(x) = 1/(b-a) for x i [a, b], og f(x) = 0 ellers.

For fleratige variabler brukes en f(x1, x2, …) kalt fellesdensitet, slik at ∫∫… f(x1, x2, …) dx1 dx2 … = 1 over hele utfallsrommet. Marginal- og betingede fordelingsfunksjoner beregnes ved integrasjon av f i riktig variabel.