Rotationsmatricer

Rotationsmatricer, eller rotation matrices, är reella kvadratiska matriser som avbildar vektorer genom en rotation i ett n‑dimensionellt rum. De är ortogonala (m^T m = I) och har determinant lika med +1, vilket innebär att de bevarar längd och vinklar samt att orienteringen av rummet bevaras. En rotationsmatris motsvarar alltså en kontinuerlig, längdbevarande isometri.

I två dimensioner är rotationsmatrisen enkel: R(θ) = [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]]. Den representerar en rotation med vinkeln θ runt origo i planet. I tre dimensioner kan rotationer beskrivas som rotationer kring x-, y- eller z-axeln, eller som en allmän rotation kring en godtycklig axel. Ett vanligt sätt att uttrycka en allmän 3D-rotation är Rodrigues formel: R = I cosθ + (1−cosθ) nn^T + [n]× sinθ, där n är enhetsaxeln och [n]× är korsproduktmatrisen. Eulerska vinkel och kvaternioner är alternativa sätt att parameterisera samma rum av rotationer.

Egenskaperna gör rotationsmatricer centrala inom matematik och tillämpningar. Eftersom R^T R = I och det(T) = +1, så är inversen R^−1 = R^T. Produkten av två rotationer motsvarar en ny rotation (komposition via matrismultiplikation). Den samlade mängden alla n‑dimensionella rotationsmatriser bildar gruppen SO(n), (Special Orthogonal Group). I 3D kallas gruppen SO(3) och beskriver alla orienteringsbevarande rigida kroppar.

Användningar finns inom datorgrafik, robotik, rymd- och fordonsfysik samt bild- och signalbehandling. Vid numeriska beräkningar kan små deformationer göra att R inte längre är exakt ortogonal, vilket kräver återortogonalisation eller re-parameterisering för att behålla stabilitet.