Rotationsfläche

Eine Rotationsfläche ist eine Fläche, die durch die Rotation einer Ebene Kurve um eine feste Gerade, die Achse, entsteht. Die Achse ist eine Geraden im Raum und kann jede Lage haben; häufig wird sie als x-, y- oder z-Achse gewählt. Rotiert man eine Generatriz, also eine Kurve in einer Ebene, um diese Achse, so entsteht durch die kontinuierliche Dreidimensionalität eine Fläche, die an jedem Punkt einen Kreis liefert.

Parametrisierung und Beispiele: Wenn die Generatriz in einer Ebene durch y = f(x) beschrieben wird und um die x-Achse rotiert wird, erhält man die Rotationsfläche S mit S(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) sin θ), wobei x ∈ [a,b] und θ ∈ [0, 2π). Ähnliche Formeln gelten beim Rotieren um andere Achsen. Typische Beispiele sind: Die Rotation eines Halbkreises um seinen Durchmesser ergibt eine Kugel; das Rotieren eines Kreises um eine Achse in seiner Ebene, die den Kreis nicht schneidet, erzeugt einen Torus; eine Gerade durch den Ursprung rotiert um die Achse und erzeugt einen Kegel; eine Linie, die parallel zur Achse in Abstand von ihr liegt, erzeugt eine Zylindersfläche.

Eigenschaften und Formeln: Rotationsflächen besitzen eine Achsensymmetrie um die Rotationsachse. Für eine um die x-Achse rotierte Kurve y = f(x) mit x ∈ [a,b] und f ≥ 0 gilt die Oberflächenformel A = ∫_{a}^{b} 2π f(x) sqrt(1 + (f′(x))^2) dx. Das Volumen des durch Rotation gebildeten Körpers ist V = π ∫_{a}^{b} f(x)^2 dx. Die Formeln lassen sich durch koordinatenspezifische Transformationen auf andere Achsen übertragen.