Risikofunktion

Risikofunktion

In der Statistik und Entscheidungstheorie bezeichnet die Risikofunktion (risk function) die erwartete Verlustfunktion eines statistischen Entscheidungsregels oder Schätzers unter einem gegebenen Modell. Sie ist eine Funktion von dem wahren Parameter θ und von der gewählten Entscheidungsregel δ und wird definiert durch R(θ, δ) = Eθ[L(δ(X), θ)], wobei X die beobachteten Daten, θ der Parameter und L der Verlust ist. Die Erwartung erfolgt über die Verteilung von X, die durch θ bestimmt wird.

Der Verlust L quantifiziert die Strafhöhe für Abweichungen von der wahren Größe. Übliche Verluste sind zum Beispiel der quadrierte Fehler L(a, θ) = (a − θ)^2, der absolute Fehler L(a, θ) = |a − θ| oder der 0-1-Verlust L(a, θ) = 1, wenn a ≠ θ, sonst 0. Die Risikofunktion hängt also von Modell, Datenverteilung, Entscheidungsregel und Verlustfunktion ab.

Verwendung: Die Risikofunktion dient zum Vergleich von Schätzern und Entscheidungsregeln. Man sucht Regeln mit möglichst kleinem Risiko, insbesondere Minimaxi-Lösungen, bei denen das maximale Risiko über θ minimiert wird: δ* = argminδ supθ R(θ, δ). Im Bayeschen Rahmen wird das Bayes-Risiko ρ(δ) = ∫ R(θ, δ) π(dθ) für eine Prior π minimiert.

Beispiele: Bei der Schätzung eines Parameters mit quadrierter Verlustfunktion ist das Risiko R(θ, δ) = Eθ[(δ(X) − θ)^2]. Die Risikofunktion lässt sich berechnen, vergleichen und nutzen, um optimale Schätzregeln abzuleiten.

Hinweis: Form und Wert der Risikofunktion hängen von Modelldefinition, Daten und gewähltem Verlust ab und bilden eine zentrale Grundlage der theoretischen Entscheidungsfindung in der Statistik.