Riemannintegrerbare

Riemannintegrerbare er et begrep i matematikk som beskriver når en funksjon kan integreres i Riemanns betydning på et lukket intervall, vanligvis [a,b]. En funksjon f er Riemannintegrerbar hvis den er begrenset på dette intervallet og Riemanns integral eksisterer, definert via øvre og nedre Summer. For en partisjon P av [a,b] med a = x0 < x1 < … < xn = b settes Mk som supremum av f på delintervallet [xk-1, xk] og mk som infimum. Øvre sum er U(f,P) = sum Mk·(xk - xk-1) og nedre sum er L(f,P) = sum mk·(xk - xk-1). Integralet eksisterer hvis inf_P U(f,P) = sup_P L(f,P), eller om forskjellen U(f,P) − L(f,P) kan gjøres vilkårlig liten.

En viktig karakteristikk er at en begrenset funksjon er Riemannintegrerbar hvis og kun hvis settet der f er discontinuous, har målnull i intervallet. Med andre ord, kontinuitet nesten overalt er tilstrekkelig, og funksjoner med et begrenset antall diskontinuiteter er også integrerbare.

Eksempler og spesialtilfeller gir innsikt. Dirichlets funksjon, som er 1 på rasjonale og 0 på irrasjonale i [0,1], er ikke Riemannintegrerbar fordi den er diskontinuerlig i hvert punkt. Thomaes funksjon, definert som f(x)=0 for irrationale og f(p/q)=1/q for rationale i lav brøkform, er Riemannintegrerbar med integralet 0. Heaviside-funksjonen har en enkel diskontinuitet og er Riemannintegrerbar på enhver finite interval.

Riemannintegrering ligger til grunn for grunnleggende kalkulus og står i forhold til Lebesgue-integrasjon, som utvider begrepet ved å bruke måling av sett i større generalisering.