Realinumeroiden

Realinumeroiden, suomeksi yleensä reaaliluvut, ovat matemaattinen joukko, joka sisältää kaikki rationaaliset ja irrationaaliset luvut. Ne muodostavat yhden ulottuvuuden linnan reaalilinjalla, jossa luvut voidaan sijoittaa ja joissa suoritetaan peruslaskutoimet kuten addition, vähennys, kertominen ja jakaminen ei-nollalla luvulla.

Ominaisuudet: Reaaliluvut muodostavat täydellisen järjestetyn kehyksen eli täydellisen järjestetyn kentän. Tämä tarkoittaa, että yhdistetyt laskutoimitukset ovat määriteltävissä ja tulokset ovat jälleen reaalilukuja. Täydellisyys merkitsee, että jokainen CauchySeqenssi konvergoituu reaaliluvuksi. Järjestyksen tiheys tarkoittaa, että kahden erillisen realiluvun välillä löytyy aina toinen reaaliluku. Lisäksi reaaliluvut ovat lukusuureudeltaan kardinaalisesti suurempi kuin rationaaliluvut; niitä on lukemattomasti, ja niiden määrää kutsutaan kontinuumin kardinaaliksi. Jokaisella realiluvulla on yleinen desimaaliesitys, joka on joko päättyvä tai jatkuva loputtomasti. Rational numbers päättyvät tai toistuvat desimaaliesityksessä, irrationaaliset puolestaan eivät.

Rakentaminen: Reaaliluvut voidaan rakentaa usealla tavalla, tavallisimmin Dedekind-katkojen tai Cauchy-sekvenssien luokkien avulla rationaaliluvuista. Näistä muodostuu “reaalilinja” sekä todellinen arvojen ja jatkuvan mittauksen perusta.

Käyttö: Reaaliluvut ovat analyysin, fysiikan, taloustieteen ja monien sovellusten perusta. Ne mahdollistavat raja-arvot, integraali- ja derivointitoiminnot sekä tarkkaan mittaukseen perustuvan laskennan. Tärkeitä esimerkkejä ovat pi ja neliöjuuri kahdesta, sekä luvuista e ja logaritmifunktiot.