RadialeBasisFunktionen

Radiale Basis Funktionen, oft abgekürzt als RBFs, sind reellwertige Funktionen, deren Wert nur vom Abstand zum Ursprung abhängt. Dies bedeutet, dass eine radiale Basis Funktion f(x) für einen Vektor x nur von ||x|| abhängt, wobei ||.|| die euklidische Norm bezeichnet. Praktisch bedeutet dies, dass eine radiale Basis Funktion auf einer Kugel um den Ursprung konstanten Wert hat.

Diese Eigenschaft macht RBFs besonders nützlich für Anwendungen in der Interpolation und Approximation von Funktionen. Eine Menge von Datenpunkten kann durch eine Linearkombination von radialen Basis Funktionen interpoliert werden, wobei jede RBF in einem der Datenpunkte zentriert ist. Die Form der RBF wird durch einen Parameter, den sogenannten Shape-Parameter oder Spread, gesteuert. Ein kleiner Spread führt zu einer scharfen, lokalisierten Funktion, während ein großer Spread zu einer glatteren, weiter ausgedehnten Funktion führt.

Verschiedene Arten von radialen Basis Funktionen existieren, darunter die multiquadratische Funktion, die umgekehrt multiquadratische Funktion und die Gaußsche Funktion. Jede hat ihre eigenen mathematischen Eigenschaften und Anwendungsbereiche. Die Wahl der geeigneten RBF und des Shape-Parameters ist entscheidend für die Leistung des Modells.

RBFs finden Anwendung in verschiedenen Bereichen wie maschinellem Lernen, Computervision, Signalverarbeitung und numerischer Analyse. Sie werden häufig für Aufgaben wie Klassifizierung, Regression, Bildkompression und Lösung partieller Differentialgleichungen eingesetzt. Ihre Fähigkeit, komplexe Funktionen aus diskreten Datenpunkten zu approximieren, macht sie zu einem mächtigen Werkzeug in der Datenwissenschaft.