Quasiperiodisch

Quasiperiodisch beschreibt Muster, Signale oder Strukturen, die sich nicht exakt periodisch wiederholen, aber eine Form repeatedaler Elemente aufweisen. In der Mathematik wird eine quasiperiodische Funktion oft als endliche Summe periodischer Funktionen mit incommensurate Frequenzen dargestellt. Formal lässt sich f(t) = ∑_{k=1}^n A_k cos(2π f_k t + φ_k) schreiben, wobei die Frequenzen f_k paarweise irrational zueinander sind (das Verhältnis zweier Frequenzen ist irrational).

Eine alternative, äquivalente Sichtweise nutzt höhere Dimensionen: Eine in der Ebene beobachtete quasiperiodische Struktur ergibt sich als Projektion einer mehrdimensional periodischen Funktion oder Struktur. Dadurch entstehen Muster, die lokal wiederkehrend, aber global nicht periodisch sind.

Typische Beispiele finden sich in mehreren Bereichen. In der Signalverarbeitung treten Signale mit mehreren incommensurate Frequenzen auf. In der Materialkunde sind Quasikristalle zu nennen, die eine ordentliche Struktur zeigen, aber keine einfache periodische Wiederholung wie Kristalle besitzen; ihre Diffraktionsmuster weisen scharfe Bragg-Peaks bei nicht-kristallographischen Symmetrien auf. In der Mathematik und der Geometrie führen quasiperiodische Tilings, wie das Penrose-Tiling, zu nichtperiodischen, doch langfristig geordneten Mustern.

Abgrenzung: Quasiperiodizität unterscheidet sich von Periodizität durch das Fehlen einer fundamentalen Periode. Sie ist ferner nicht identisch mit zufälligen oder aperiodischen Prozessen, sondern besitzt eine geordnete Langreichweitenstruktur. Der Begriff findet Anwendung in Mathematik, Physik, Materialwissenschaft und ästhetischer Gestaltung.