Quasiperiodizität

Quasiperiodizität bezeichnet die Eigenschaft einer Größe oder eines Signals, sich aus einer endlichen Summe von periodischen Komponenten mit Frequenzen zu bilden, die zueinander irrational oder zumindest nicht ganzzahlig ko-prim sind. In der Mathematik wird eine Funktion f: R → R als quasiperiodisch beschrieben, wenn es n ≥ 2 Frequenzen ω1, …, ωn und Koeffizienten a1, b1, …, an, bn gibt, so dass

f(t) = ∑_{k=1}^n [a_k cos(2π ω_k t) + b_k sin(2π ω_k t)]

und die ωk linear unabhängig über die ganzen Zahlen sind (keine nicht-trivialen ganzzahligen Relationen ∑ m_k ω_k = 0).

Eine wichtige äquivalente Sichtweise ist die Dynamik auf dem Torus: Der Weg t → (ω1 t mod 1, …, ωn t mod 1) ist auf dem n-Torus dicht, was die langreichende, aber nicht periodische Ordnung bündelt. Damit unterscheidet sich Quasiperiodizität von echter Periodizität, bei der alle Frequenzen durch eine gemeinsame Grundperiode harmonieren.

Beispiele und Abgrenzungen: f(t) = cos(2π t) + cos(2π √2 t) ist quasiperiodisch. Im Gegensatz dazu steht eine rein periodische Funktion, die eine fundamentale Periode besitzt, und die Konzepte der Almost-Periodicität, bei der approximationen durch Trigonomische Polynome mit möglicherweise unendlicher Frequenzensammlung erfolgt.

Anwendungen: In Physik und Materialwissenschaft dient Quasiperiodizität zur Beschreibung ordentlicher, nicht-periodischer Strukturen wie Quasikristallen. Modelle nutzen oft quasiperiodische Ordnung oder quasiperiodische Tilings (z. B. Penrose-Tiling), die scharfe Ordnungsmerkmale ohne translationalen Symmetriebruch aufweisen.