Quadratsumme

Quadratsumme, im Deutschen oft als Summe der Quadrate (SS) bezeichnet, ist ein Maß zur Quantifizierung der Variabilität einer Messgröße. Sie ergibt sich aus der Summe der quadrierten Abweichungen der Beobachtungen von einem Referenzwert, gewöhnlich dem Mittelwert.

Im Kontext der Varianzanalyse (ANOVA) und der Regressionsanalyse unterscheidet man typischerweise drei Größen: SS_tot (Gesamtsumme der Quadrate), SS_reg (erklärte Quadratsumme bzw. Regression) und SS_res (Rest- bzw. Fehlersumme der Quadrate, SSE). Die Grundbeziehung lautet: SS_tot = SS_reg + SS_res. Beispiel: Für eine Stichprobe der Größe n mit beobachteten Werten y_i gilt SS_tot = Σ (y_i - ȳ)^2, SS_reg = Σ (ŷ_i - ȳ)^2, SS_res = Σ (y_i - ŷ_i)^2, wobei ŷ_i die vorhergesagten Werte sind.

Die Freiheitsgrade sind mit df_tot = n - 1, df_reg = p - 1 und df_res = n - p verknüpft, wobei p die Zahl der Parameter im Modell ist (einschließlich des Achsenabschnitts). Die mittleren Quadrate (MS) ergeben sich aus MS = SS / df. Die Varianzschätzung s^2 entspricht SS_tot/(n - 1).

Interpretation und Anwendung: Quadratsummen dienen dazu, die Varianzquellen zu identifizieren, Modellgüte zu beurteilen und Hypothesentests in ANOVA und Regressionsanalysen zu ermöglichen. Die F-Statistik vergleicht MS_reg mit MS_res, um zu prüfen, ob das Modell signifikant erklärt.