Quadratfunktionen

Eine Quadratfunktion ist eine Funktion zweiten Grades. Typisch hat sie die Form f(x) = ax^2 + bx + c mit a ≠ 0. Graphisch ergibt sich daraus eine Parabel; der Koeffizient a bestimmt Öffnung und Breite, während b und c Verschiebungen entlang der Achsen bewirken.

Hauptformen sind die Standardform f(x) = ax^2 + bx + c und die Vertexform f(x) = a(x − h)^2 + k. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten (h, k) mit h = −b/(2a) und k = f(h). Die Achse der Symmetrie ist x = h. Der Scheitelpunkt gibt Aufschluss darüber, ob die Parabel ein Minimum (a > 0) oder ein Maximum (a < 0) besitzt.

Nullstellen und Diskriminante: Die Gleichung f(x) = 0 hat Lösungen x = [−b ± √Δ]/(2a) mit Δ = b^2 − 4ac. Δ > 0 liefert zwei reelle Nullstellen, Δ = 0 eine doppelte Nullstelle, Δ < 0 keine reellen Nullstellen.

Formen und Umwandlung: Neben der Standardform lässt sich durch quadratische Ergänzung die Vertexform gewinnen oder die Funktion faktorisiert schreiben, f(x) = a(x − x1)(x − x2), falls reelle Nullstellen existieren.

Eigenschaften: Der Definitionsbereich ist ganz ℝ. Der Wertebereich hängt von a und dem Scheitel ab: bei a > 0 ist er [k, ∞); bei a < 0 ist er (−∞, k]. Die Parabel ist symmetrisch zur Achse x = h; links des Scheitelpunkts fällt der Graph (bei a > 0) und rechts davon steigt er, bei a < 0 verkehrt.

Anwendungen: Quadratfunktionen modellieren Wurfparabeln, Optimierungsprobleme, Datenanpassungen mittels quadratischer Modelle und verschiedene natur- bzw. ingenieurwissenschaftliche Anwendungen.