Pöörlemismatricid

Pöörlemismatricid, ehk rotation matrices, on ruudulised maatriksid, mis kirjeldavad pööret ruumis või ruumilise koordinaatsüsteemi toimimisviisis. Neil on kaks peamist omadust: R^T R = I ja det(R) = 1. Selline ortogonaalne maatriks on pöörlemisvahend, mille abil säilitatakse pikkused ja nurgad ning mida saab kasutada koordinaatide või keha ruumilise orientatsiooni muutmiseks. Pöörlemismatriksite korrutamine vastab järjestikusele pöördele ning neid saab kasutada koordinaatide teise koordinaatsüsteemi loomiseks või keha ruumilise orientatsiooni muutmiseks.

2D-pöörlemine. Ketta või tasandi pööre θ ümber algse punkti korral on maatriks R(θ) = [ [cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ] ]. See on kõigi 2×2 pöörlemismaatrikside näidis; selle determinant on alati 1 ning R^T = R^−1.

3D-pöörlemine. 3D-s võib pööre toimuda pöödele aksise ümber. Kui pöörde telg on unitaarsusvektor u ∈ R^3 ja pööre on θ, näitab Rodrigues’ võrrand pöörlemismaatriksi R = I cos θ + (1 − cos θ) uu^T + sin θ [u]_×, kus [u]_× on risttabeli maatriks: [u]_× = [[0, −u_z, u_y], [u_z, 0, −u_x], [−u_y, u_x, 0]]. Pöörlemismaatrikside kogum n×n suurustes ruumis moodustab erilise ortogonaalse rühma SO(n), mis sisaldab ainult determinantiga 1 olevat ortogonaalset maatriksit.

Omadused ja kasutus. Pöörlemismatricid on ortogonaalsed ja nende pöördväärtus on transpositsioon: R^−1 = R^T. Need säilitavad Euclidliku inner producti ning seega pikkused ja nurgad ruumis. Pöörlemismaatrikse abil saab kombineerida järjestikuseid pöördeid; tulemuseks on jälle pöörlemismaatriks. Käitlemisel on oluline eristada aktiivset pöörlemist (objekti pööramine) ja passiivset pöörlemist (koordinaatsüsteemi pööramine), mis on seotud transpositiooni- või pöördnaidi mõistetega.

Rakendused. Pöörlemismaatrikid on laialdased computer graphics’i, roboti, lennunduse ja füüsika valdkondades: nad võimaldavad 3D-objektide ja sensorite koordinaatide muutmist, kujude ja mehhanismide pöörde simuleerimist ning erinevate vaatekaartide transformatsioone. Erinevad pöörete parametriseerimised, nagu Euler’i nurgad või telg-pöörde kirjeldus, pakuvad erinevaid praktilisi lahendusi sõltuvalt rakendusest.