Projektionsområdet

Projektionsområdet är ett begrepp inom matematik och geometri som beskriver bilden av en mängd när den avbildas genom en projektion. En projektion är en avbildning P från ett vektorrum V till ett underrum U ⊆ V där P är idempotent (P^2 = P). För en mängd S ⊆ V betecknas projektionsområdet av S som P(S) = {P(v) | v ∈ S}. Denna bild ligger i U och visar hur objektet projiceras på en underliggande axel eller yta.

Ortogonal projektion är den vanligaste typen i rumslig geometri: om V har en inre produkt väljs P som ortogonal projektion till U, vilket innebär att varje v i V avbildas till närmaste punkt i U. I praktiken motsvarar detta en “skugga” av S på U när ljuset faller vinkelrätt mot U.

Exempel: Att projicera en tredimensionell kropp på en plan yta ger upphov till en tvådimensionell projektionsarea på planet. Projektionens område kan vara mindre dimensionellt än originalobjektet, och området kan förändras beroende på projektionens riktning och typ.

Egenskaper: Bilden av en konvex mängd under en projektion är konvex; projektionen kan vara icke-injektiv så att flera ursprungspunkter mappar till samma punkt; projektionen kan reducera dimensionen och därmed flytta gränser och volymförhållanden.

Användningar: datorgrafik (ortografisk och perspektiv projektion), bildbehandling, geodesi, optik och tomografi. Se även projektion i linjär algebra, perspektivprojektion och bildens skugga.