Probabilità

Probabilità è la disciplina matematica che studia i fenomeni aleatori e l’incertezza. In senso utile è una misura della fiducia che si assegna al verificarsi di un evento. Le principali interpretazioni sono quella classica (conteggiare esiti favorevoli su quelli possibili in un esperimento ben definito), quella frequente (basata sulla frequenza relativa su un grande numero di prove) e quella soggettiva (grado di credenza personale).

Formalmente si parte dallo spazio delle probabilità, rappresentato da uno spazio campionario Ω, un insieme di eventi F che contiene sottoinsiemi di Ω e una funzione P che assegna a ogni evento A un valore tra 0 e 1. Si hanno proprietà fondamentali come P(Ω)=1 e P(A∪B)=P(A)+P(B) se A e B sono disgiunti; l’indipendenza tra eventi A e B implica P(A∩B)=P(A)P(B).

Una variabile casuale X è una funzione X: Ω→ℝ che associa valori numerici agli esiti. La distribuzione di X descrive le probabilità dei suoi valori: per variabili discrete p(x)=P(X=x), per variabili continue si lavora con una densità f e con la funzione di ripartizione F(t)=P(X≤t). Distribuzioni comuni includono Bernoulli, Binomiale, Normale e Poisson. Le funzioni di densità, di massa e laCDF condensano le probabilità in modi utili per l’analisi.

Concetti chiave includono probabilità condizionata, P(A|B)=P(A∩B)/P(B), e il teorema di Bayes per aggiornare le probabilità alla luce di nuove informazioni. Il teorema centrale del limite indica che la somma di molte variabili indipendenti con momenti finiti tende a una distribuzione normale.

Storia: le origini si rintracciano nel XVII secolo con Pascal e Fermat; lo sviluppo assiomatico moderno è attribuito a Kolmogorov nel 1933.