Positionssysteme

Positionssysteme, auch positionale Zahlensysteme genannt, sind Zahlensysteme, bei denen der Wert einer Ziffer von ihrer Position innerhalb einer Zahl abhängt. Die Basis b bestimmt die Anzahl der Ziffern und die Gewichte der Stellen. Eine Ziffer a_k an der Stelle k hat den Wert a_k · b^k. Eine Zahl wird als Summe der Ziffernwerte dargestellt: a_0 b^0 + a_1 b^1 + ... + a_n b^n. Die Ziffern reichen von 0 bis b-1. Die Null ist wichtig als Platzhalter, damit gleiche Ziffern in unterschiedlichen Positionen verschiedene Werte bedeuten.

Häufige Basen sind 10 (Dezimalsystem), 2 (Binär), 16 (Hexadezimalsystem). Weitere Beispiele: 8 (Oktalsystem), 36 (Zahlensystem mit Ziffern 0-9 und Buchstaben A-Z). Historisch spielten das indische Zahlensystem und das später überlieferte hinduisch-arabische Zahlensystem eine zentrale Rolle. Die Einführung der Null als Platzhalter war entscheidend. Durch das Positionsprinzip lassen sich Rechenoperationen mit Algorithmen durchführen; Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lassen sich systematisch ausführen.

In der Informatik werden häufig Basen wie 2, 8 und 16 genutzt: Binärsystem (Basis 2) für digitale Schaltungen und Daten, Hexadezimalsystem als kompakte Darstellung von Binärdaten. Positionalität erklärt außerdem die effiziente Übertragung und Verarbeitung von Zahlen in modernen Computersystemen.