Polynomimalli

Polynomimalli on tilastollinen regressiomalli, jossa vasteen arvo y kuvataan polynomifunktiona yhdestä tai useammasta selittäjästä. Yksinkertaisin muoto on y ≈ β0 + β1 x + β2 x^2 + … + βd x^d + ε, jossa ε on satunnaisvirhe. Tällaiset mallit voivat kuvata ei-lineaarisia suhteita, jolloin pienet ja suuret muutokset selittäjän arvoissa eivät vaikuta lineaarisesti.

Monimuuttujaisessa tapauksessa polynomisyöttöä voidaan laajentaa useammille selittäjille sekä lisätä vuorovaikutus- ja korkeamman asteen termejä (esimerkiksi x1^2, x2^2, x1 x2). Tällöin malli rakentuu polynomifunktioista, joiden avulla voidaan muuttaa monimutkaisia riippuvuuksia datan eri ulottuvuuksilla.

Sovitus ja valinta: Yleisin menetelmä on pienimmän neliösumman (OLS) sovitus, jossa kertoimet β määritellään minimoimaan havaittujen y:n ja mallin ennusteiden välinen neliövirhe. Korkean asteen polynomit ja suuria datoja kasvattavat ylikuorimisen riskin, joten käytetään säännöllistämistä (ridgen, lasoon tai elastic netin kautta) sekä ristiinvalintaa (cross-validation) optimaalisen asteen ja termien määrän valitsemiseksi.

Tulkinta ja rajoitukset: Polynomien tulkinta voi olla epäintuitiivista, erityisesti korkean asteen termeillä; derivaatan ning polynomin käyttäminen vaikutusten ymmärtämiseksi voi auttaa. Polynomimallit voivat tulkita hyvin datan sisällä, mutta ne voivat olla epäluotettavia extrapoloitaessa huomattavasti koulutuksellisesta datasta poikkeaville arvoille. Runge-ilmiö ja multikollineaarisuus voivat lisätä epävarmuutta.

Sovellukset ja vaihtoehdot: Niitä käytetään trendien ja epälineaaristen suhteiden mallintamiseen taloudessa, insinööri- ja luonnontieteissä sekä aikaisessa ajantasaisessa suodatuksessa. Vaihtoehtoisia lähestymistapoja ovat spline-mallit, yleiset additiiviset mallit (GAM) sekä kernel- tai täyden spektrin menetelmät, jos halutaan joustavampi kuva ilman korkean asteen polynomien ongelmia.