Polünoomid

Polünoomid on algebrilised avaldised, mis sisaldavad muutujat x ja koefitsiente ning mis koosnevad ainult liitmise, lahutamise ja korrutamise teel ning kus x astendatakse mitte-negatiivsetesse täisarvudesse. Üldkujund on P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, kus n ≥ 0 ja a_n ≠ 0. Koefitsiendid a_i kuuluvad määratud keha või ringi, näiteks reaalarvude R või kompleksarvude C.

Polünoomi aste on suurim n, mille puhul a_n ≠ 0. Juhtkoefitsient on a_n. Kui kõik koefitsiendid on 0, on tegemist nullpolünoomiga, mille astet tavaliselt ei defineerita.

Polünoomid võivad käituda kui funktsioonid: P on funktsioon, mis võtab arvu x ja määrab sellele väärtuse P(x). Arvutamisel asendatakse x-ga arvu a ja saadakse P(a). Juured on sellised a, kus P(a) = 0. Kompleksses alusruumis C kehtib fundamentaalne teoreem: iga mitte-null polünoom P ∈ C[x] on C-ks lõplikult palju juurtega, ning P(x) = a_n ∏_{i=1}^n (x - r_i) kõigi oma juurte korral (r_i kompleksarvud). Reaalsete koefitsientidega polünoomid võivad faktoriseeruda lineaarteguriteks või irreducibiliteks kvadratuurideks.

Olulised operatsioonid on lisamine, lahutamine, korrutamine ja jagamine jäägiga; jagamisel saadakse jääk. Horneri meetod võimaldab polünoomi väärtust kiiresti arvutada ning polünoomide faktoreerimine ja ruutude leidmine on aluseks mitmesugustele rakendustele. Polünoomid leiavad kasutust algebra, matemaatilises analüüsis, interpolatsioonis ja arvutusmeetodites.

Näide: P(x) = 3x^3 - 2x + 5. P(2) = 3·8 - 4 + 5 = 25.