nullpolünoomiga

Nullpolünoom (nullpolünoomiga) modulo m on polünoom f ∈ Z[x], mille iga täisarv a korral f(a) on kongruentne 0-ga modulo m. Teisisõnu, f(a) ≡ 0 (mod m) kõigi a ∈ Z puhul. Selline polünoom “hävib” kõigi sisendite korral, kui tootlikkuse mõõtmisel arvestakse arvu m jääki.

Mõned lihtsad näited. Kõigi m jaoks töötab polünoom F_m(x) = ∏_{r=0}^{m-1} (x − r). Selle astme on m ja see on nullpolünoom modulo m, sest iga täisarv x on ükskõik millise r-ga samas tunnis ehk x ≡ r (mod m) ja seetõttu on x − r jagatav m-i poolt, mistõttu kogu korrutis on ≡ 0 (mod m). Teine tuntud näide on, kui m on algarv p: polünoom x^p − x on nullpolünoom modulo p, põhjuseks Fermati väike teoreem, mis annab võrduse a^p ≡ a (mod p) iga a korral.

Nullpolünoomid puudutavad üldiselt ka polünoomide ideali Z[x] sees. Kõik nullpolünoomid modulo m moodustavad Z[x]-i ideaali I_m, ja see ideeali struktuur on seotud ringide ja polünoomfunktsioonide teooriaga modulo m. Sellest tulenevalt uuritakse, kui suur on minimaalne nullpolünoomi aste (minimaalse mittetühja nullpolünoomi aste), ning kuidas erinevad modulid m võimaldavad erineva kujuga või erineva suurusega nullpolünoome.

Seosed ja laiendused hõlmavad polünoomfunktsioonide kirjeldamist modulo m ning uuringuid erinevates finite ringides. Nullpolünoomid annavad lihtsaid konstruktsioone nullfunktsioonide jaoks ning on aluseks mõtteviisidele, kuidas polünoome saab kasutada jääkide ja residuaarsete süsteemide puhul.