polünoome

Polünoomid on algebrilised avaldised, mis koosnevad muutujatest ja koefitsientidest ning mille moodustamisel kasutatakse peamiselt liitmist ja korrutamist ning muutujate astmeid mitte-negatiivsetes täisarvudes. Ühe muutujaga polünoomil on kujund p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, kus koefitsiendid a_i on määratud, ning n on suurim astm, mille korral koefitsient on mitte-null. Koefitsiendid võivad olla reaalsed või kompleksnumbritest; üldises kontekstis võib kasutada ka muid koefitsiente.

Mitme muutujaga polünoomid on kujul p(x1, x2, ..., x_k) = sum a_{i1,...,ik} x1^{i1} x2^{i2} ... x_k^{ik}, kus iga i_j on mitte-negatiivne täisarv ning koefitsiendid a_{i1,...,ik} on vastavad koefitsientide märgid. Polünoomide astme määrab suurim kokkuvõttes tekkinud astme koefitsientide kombinatsioonil, millel on mitte-null koefitsient.

Polünoomid moodustavad ringi koefitsientide suhtes (nt R[x], C[x]), kus lisamine ja korrutamine annavad uusi polünoome. Jagamine on defineeritud nii, et suuremene p kohaliku polünoomi korral leitakse jagaja ja jääk reeglite järgi.

Ühe muutujaga polünoomide puhul kehtib fundamentaalne teoreem algebras: iga mitte-konstandse polünoomi korral komplekssetes koefitsientides on täpselt nii palju juuri, kui selle astme võrra — lugedes kordusi. Faktoreerimine võimaldab polünoomi esitada irreducibilite osadena.

Rakendused hõlmavad võrrandite lahendamist, funktsioonide lähendamist (nt Taylor- või Maclaurin-polünoomid), arvutiteaduses ja inseneriteadustes kõigi liikuvate probleemide modelleerimist ning analüüsi. Näide: p(x) = 3x^2 + 2x − 5 on ühe muutujaga polünoom.