Perronvärdet

Perronvärdet är det största egenvärdet hos en kvadratisk matris med icke-negativa ingångsvärden, enligt Perron–Frobenius-satsen. För en icke-negativ matris A finns ett verkligt egenvärde ρ(A) ≥ 0 med en icke-negativ egenvektor; detta värde kallas Perronvärdet eller Perron–Frobenius egenvärde.

Om A är icke-negativ och irreducibel är Perronvärdet strikt större än modulus av alla övriga egenvärden, och den tillhörande högers egenvektor kan väljas med strikt positiva komponenter; vänster egenvektor är också positiv i detta fall. Om A är primitiv är Perronvärdet enkelt (multiplicitets 1). Om A är reducibel kan Perronvärdet fortfarande vara lika med spektralradien, men den tillhörande egenvektorn behöver inte vara strikt positiv.

Egenskaperna omfattar att Perronvärdet ρ(A) är spektralradien, det största av modulus av egenvärdena. ρ(A) kan också uttryckas som lim_{k→∞} ||A^k||^{1/k} för vissa normer. Om 0 ≤ A ≤ B komponentvis så följer ρ(A) ≤ ρ(B). ρ är kontinuerlig i matrisinnehållet på mängden icke-negativa matriser. För stokastiska matriser är ρ vanligtvis 1, och motsvarande vänster- och höger egenvektor ger en stationär fördelning.

Användningsområden inkluderar befolkningsdynamik, Markov-kedjor, ekonomiska modeller och grafteori. Perronvärdet fungerar som en långsiktig tillväxtfaktor för lagrade system och styr hur omfattningen av ett system växer eller minskar över tid.