Parallellförflyttad

Parallellförflyttad är ett adjektiv som används inom differentialgeometri för att beskriva en vektor eller ett tensor som har parallellförflyttats längs en kurva i en differentiell mångfald med hjälp av en koppling. Processen kallas parallellförflyttning eller parallelltransport. Om gamma(t) är kurvan och V(t) en vektor längs gamma uppfyller den parallellförflyttade egenskapen att den covariant derivatan längs kurvan är noll: ∇_(d/dt) V = 0. I ett flackt rum med standardkoppling är parallellförflyttning helt enkelt att hålla V konstant i ett valt koordinatsystem.

I rumtider och mångfalder med icke-trivial koppling bevaras längd och vinkel under parallellförflyttning när kopplingen är metrisk, till exempel Levi-Civita-kopplingen. Parallellförflyttning är en lokal process; när en vektor transporteras längs en slinga kan den ändra orientering trots att dess längd bevaras. Denna ändring mäts av holonomi, som beror på kurvaturen och beskrives av krökningens tensor. En slinga som omger ett område ger upphov till en viss vektorrotation vid återkomst, vars storlek kopplas till den genomsnittliga krökningen över det område som slingan omsluter.

Användningar och betydelse: parallellförflyttning är central i allmän relativitetsteorin för att jämföra vektorer i olika punkter i rumtiden; i matematiken används den för att studera geodesier, holonomi och egenskaper hos kopplingar. Exempel: på en sfär bevaras längden hos en parallellförflyttad vektor, men dess riktning kan ändras när den transporteras runt en slinga. Mer generellt avslöjar holonomin hur krökningen påverkar orienteringen efter transport längs slinger.