Padéapproximanten

Padéapproximanten sind rationale Funktionen, die verwendet werden, um eine gegebene Funktion um einen Punkt z0 durch eine Quotient aus zwei Polynomen zu annähern. Gegeben sei f(z) mit einer Taylor-Reihe um z0: f(z) = sum_{k=0}^\infty a_k (z - z0)^k. Ein [m/n]-Padéapproximant ist P_m(z)/Q_n(z) mit deg P ≤ m, deg Q ≤ n und Q_n(z0) ≠ 0 (üblich Q_n(z0) = 1), so dass die Taylor-Entwicklung von P_m(z)/Q_n(z) mit der von f(z) bis zur Ordnung m+n übereinstimmt: f(z) - P_m(z)/Q_n(z) = O((z - z0)^{m+n+1}).

Die Koeffizienten von P_m und Q_n ergeben sich, indem man die Koeffizienten der Potenzreihen von Q_n(z) f(z) - P_m(z) bis z^{m+n} gleich Null setzt. Dadurch erhält man ein lineares Gleichungssystem. Unter normalen Bedingungen existiert ein Padéapproximant und er ist eindeutig, wenn eine Normierung (etwa Q_n(z0)=1) festgelegt ist.

Eigenschaften: Padéapproximanten liefern oft eine bessere Näherung als die Taylor-Reihe, insbesondere außerhalb des Konvergenzradius. Sie können Pole der zu approximierenden Funktion erfassen und dienen zur analytischen Fortsetzung sowie zur Rekonstruktion von Funktionen.

Anwendungen reichen von numerischer Analysis, physikalischen Modellrechnungen bis hin zur Signalverarbeitung und zur Summation divergenter Reihen.

Beschränkungen: Es können künstliche Pole auftreten (Froissart-Spitzen), und die Konvergenz ist nicht allgemein garantiert; die Ergebnisse können empfindlich gegenüber der Wahl von m und n sein.

Varianten: Diagonale oder fast diagonale Padé-Tabellen (m ≈ n) gelten als besonders stabil. Padé-Approximationen stehen im Zusammenhang mit Fortsetzung über Kettenbrüche.