Overlevelsesfunksjonen

Overlevelsesfunksjonen, ofte betegnet S(t), er et sentralt begrep i overlevelsesanalyse. Den beskriver sannsynligheten for at en enhet overlever frem til tid t, altså at hendelsen ikke har inntruffet innen eller ved tid t. Hvis T er den tilfeldige variabelen som representerer tiden til en hendelse (for eksempel død eller maskinfeil), er S(t) = P(T > t). Sammen med kumulativ fordelingsfunksjon F(t) og tetthetsfunksjonen f(t) gir S(t) en full beskrivelse av fordelingen av T via F(t) = 1 − S(t) og f(t) = −dS(t)/dt i det kontinue tilfellet.

Egenskaper og tolkning: Overlevelsesfunksjonen er vanligvis ikkeøkende og er rettlig kontinuerlig. Den har S(0) nær 1 hvis hendelsen ikke skjer i løpet av null tid, og S(t) går mot en grense som ofte er 0 når hendelsen har maksimal sannsynlighet, selv om det kan være tilfeller med en positiv sannsynlighet for aldri å oppleve hendelsen.

Forhold til andre funksjoner: Hazardfunksjonen h(t) beskriver øyeblikkelig risiko per tidsenhet, og er definert som h(t) = f(t)/S(t). Sammen gir disse funksjonene en kobling mellom sannsynlighet for hendelsen og restlevetiden. I praksis estimeres S(t) ofte fra data ved hjelp av Kaplan–Meier-nestimatet, spesielt når data er rett-censurerte.

Estimering og modeller: Kaplan–Meier gir en ikke-parametrisk estimering av S(t). Cox-regresjon brukes til å modellere effekten av covariater på overlevelsesraten via hazardfunksjonen, mens parametric modeller (for eksempel eksponensiell eller Weibull) gir lukkerde uttrykk for S(t).

Anvendelser: Overlevelsesfunksjonen brukes bredt innen medisin og helsefag, kliniske studier, pålitelighetsanalyse og forsikring for å vurdere behandlingseffekt, tidsbaserte utfall og sammenligne overlevelse mellom grupper. Den gir grunnlag for vurdering av risikosprang og tidsavhengige beslutninger.