Orthogonalprojektion

Orthogonalprojektion bezeichnet in der linearen Algebra die Zuordnung eines Vektors x aus einem n-dimensionalen euklidischen Raum zu dem nächsten Vektor w in einem gegebenen Unterraum W, so dass x − w orthogonal zu W ist. Der Vektor w wird als orthogonale Projektion von x auf W bezeichnet und erfüllt die Minimierung der Distanz zu x innerhalb von W.

Formal gilt: Sei W ein Unterraum von R^n. Für jedes x ∈ R^n existiert eindeutig ein w ∈ W mit x − w ∈ W⊥. Dann ist w = Proj_W(x). Falls W durch eine Orthonormalbasis u1,...,uk beschrieben wird, lässt sich Proj_W(x) schlicht als Proj_W(x) = ∑_{i=1}^k (u_i^T x) u_i schreiben, bzw als Matrixform Proj_W(x) = U U^T x, wobei U die Matrix mit den Spalten u_i ist. Allgemein, wenn W durch die Spalten der Matrix A ∈ R^{n×k} mit Rang(R) = k beschrieben wird, gilt Proj_W(x) = A (A^T A)^{-1} A^T x.

Wichtige Eigenschaften: Die Projektion ist linear, idempotent (Proj_W(Proj_W(x)) = Proj_W(x)) und symmetrisch (Proj_W^T = Proj_W). Für orthogonale Projektionen gilt zudem die Zerlegung eines Vektors x in x = x_W + x_{W⊥}, wobei x_W ∈ W und x_{W⊥} ∈ W⊥ liegt.

Anwendungen finden sich in der kleinsten-Quadrate-Anpassung, Statistik (Hut-Matrix H = X(X^T X)^{-1} X^T), sowie in der Computergrafik und der Datenanalyse, wo Projektionen auf Unterräume zur Reduktion von Dimension oder zur Bestimmung von Anteilen verwendet werden. Beispiele umfassen die Projektion eines Vektors auf eine Gerade oder auf eine Ebene.