Operationsfolgen

Operationsfolgen bezeichnet in der Mathematik und Informatik die Folge von Ergebnissen, die sich ergibt, wenn einem Ausgangselement nacheinander eine Reihe von Operationen auferlegt wird. Eine Operation ist typischerweise eine Abbildung oder Regel, die Objekte auf Objekte abbildet.

Formal definieren wir eine Menge X und eine (möglicherweise unendliche) Folge von Endofunktionen o1, o2, o3, ... mit o_i: X -> X. Sei x0 ∈ X gegeben und definiere x_{n+1} = o_n(x_n). Die Sequenz (x0, x1, x2, ...) heißt Operationsfolge. Sind alle o_i dieselbe Funktion f, spricht man von der Iteration oder dem Orbit von f und erhält die klassische Folge x0, f(x0), f(f(x0)), ...

Verallgemeinerung: Falls die Abbildungen unterschiedliche Domänen oder Zielräume haben, lässt sich das Konzept als Kettenabfolge von Abbildungen zwischen Mengen fassen. In der algebraischen Sicht entspricht eine Operationsfolge einem Wort über einer Menge von Generatoren, das auf ein gegebenes Objekt wirkt.

Beispiele: 1) Sei x0 = 2, o1(x) = x + 3, o2(x) = 2x und wähle abwechselnd o1 und o2. Die Folge lautet 2, 5, 10, 13, 26, 39, ... 2) Betrachte f(x) = x^2 + 1. Die Iterationen beginnen mit x0 = 0 und liefern 0, 1, 2, 5, 26, ...

Eigenschaften und Anwendungen: Man untersucht Konvergenz, Stabilität, Periodizität und fixe Punkte; in dynamischen Systemen die Existenz von Orbits und Zyklen. In der Informatik dienen Operationsfolgen als Ausführungspfade oder Programmtrace; in der Algebra und Numerik helfen sie beim Verständnis von Musterfolgen von Operationen und iterativen Verfahren.