Ominisarvot

Ominisarvot ovat skalaareja λ, joille on olemassa ei-nollainen vektori x siten, että A x = λ x, missä A on n×n-matriisi. Toisin sanoen ne ovat niitä arvoja, joiden kanssa lineaarinen muunnos A kutistaa tai venyttää tilaa samalla suunnalla kuin vektori x. Ominisarvot voidaan löytää ratkaisemalla determinantti det(A − λI) = 0, jolloin λ:t muodostavat matriisin ominaispolynomin juuret.

Kullekin ominisarvolle liittyy ominaisavaruus, joka koostuu kaikista vektoreista x, joille Ax = λx. Ominisarvolla voi olla useita vektoreita, ja näiden vektorien lukumäärä määrittelee geometrisen multipliciteetin. Algebrinen multipliciteetti kertoo, kuinka monesti λ toistuu ominaispolynomissa. Matriisin diagonalisoituminen tapahtuu, kun matriisilla on tarpeeksi lineaarisesti erillisiä ominaisvektoreita, jolloin A voidaan kirjoittaa muodossa A = P D P^{-1}, missä D on diagonaalinen matriisi ominaisarvoineen ja P sarakevälillä ominaisvektorit.

Ominisarvot voivat olla reaalia tai kompleksisia. Realiset matriisit voivat sallia kompleksisia ominisarvoja, mutta realisille matriiseille kompleksiset ominisarvot esiintyvät pareittain (konjugoitupari). Erityisesti reaalinen symmetrinen matriisi on diagonaalisoitavissa ja sillä on todelliset ominisarvot sekä kunnon, ortogonaaliset ominaisvektorit (spektriteoreema).

Laskennassa ominisarvot voidaan löytää analyyttisesti pienille matriiseille tai käyttää numeerisia menetelmiä suurissa järjestelmissä, kuten QR-algoritmia, voiman iteraatiota tai Jacobi-menetelmää. Ominisarvot ovat keskeisiä monissa sovelluksissa, kuten dynamiikan ja vakauden tarkastelussa, värähtelölaskelmissa, kvanttimekaniikassa sekä data-analyysissä, esimerkiksi pääarvonsäilytyksessä (PCA) kovarianssimatriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat keskeisiä. Matriisin ominaisarvot liittyvät myös matriisin trakiin ja determinanttiin: ominaisarvojen summa on matriisin trace ja tulos on matriisin determinant.