Oberflächenregion

Eine Oberflächenregion ist ein zusammenhängendes, offenes Stück einer glatten Oberfläche S, die in den dreidimensionalen Raum R^3 eingebettet ist. Sie wird häufig als Patch oder Kartenbild bezeichnet und lässt sich durch eine Parametrisierung φ: U → S beschreiben, wobei U ein offenes, zusammenhängendes Gebiet in der Ebene R^2 ist. Das Bild φ(U) bildet dann die Oberflächenregion. Die Parametrisierung ordnet jedem Punkt von U genau den entsprechenden Punkt der Oberfläche zu und ermöglicht so eine lokale Beschreibung der Oberfläche.

Eigenschaften: Eine Oberflächenregion besitzt in der Regel die Topologie der Untermenge der Oberfläche und erhält ihre glatte Struktur durch die Parametrisierung. Falls φ regelmäßig (z. B. C^k) differenzierbar ist, gilt die Region als glatte Oberflächenregion. Der Rand der Region ∂R besteht aus Punkten der Oberfläche, die nicht zum Inneren der Region gehören. Geometrische Grössen wie der Flächeninhalt werden durch Integrale über U definiert: Fläche(R) = ∬_U |φ_u × φ_v| du dv, wobei φ_u und φ_v die partiellen Ableitungen von φ nach den Koordinaten u und v bezeichnen und der Betrag den Vektorfluss misst.

Parametrisierung und Abdeckung: Oberflächenregionen dienen als Bausteine eines Atlas, mit dem sich eine komplette Oberfläche durch überlagernde Regionen glatter Karten beschreiben lässt. Durch geeignete Verbindung an Überlappungsbereichen entsteht eine umfassende Mannigfaltigkeitsstruktur, die eine konsistente Definition von Ableitungen, Gradienten und Integralen auf der Oberfläche ermöglicht.

Anwendungen: Oberflächenregionen sind zentral in der Differentialgeometrie, der Flächenberechnung, der Definition von Vektorfeldern auf Oberflächen sowie in der Computergrafik und Geoinformationstechnik. Beispiele sind Pfeile auf einer Kugel, eine Papierenetzfläche oder Bezier-/B-Spline-Patches in 3D-Modellen.

Siehe auch: Oberfläche, Patch, Karte, Mannigfaltigkeit, Fläche.