Oberflächenebene

Oberflächenebene ist ein Begriff aus der Geometrie, der eine flache, unendliche Fläche im dreidimensionalen Raum bezeichnet. Im allgemeinen Sinn kann damit eine Ebene gemeint sein, die eine Oberfläche in einer bestimmten Region approximiert oder beschreibt. In der Differentialgeometrie wird oft die Tangentialebene als Oberflächenebene einer glatten Fläche an einem Punkt p bezeichnet, da sie die erste Ordnung der lokalen Veränderung der Oberfläche erfasst.

Eine Ebene im Raum lässt sich durch einen Normalenvektor n und einen Punkt p0 beschreiben. Die Koordinatenform lautet a x + b y + c z + d = 0 mit n = (a,b,c) und d = − n · p0. Die Ebene enthält alle Punkte x, für die n · (x − p0) = 0. Die Ebene kann somit durch die Gleichung n · (x − p0) = 0 beschrieben werden oder in der Koordinatenform als ax + by + cz + d = 0.

Für eine glatte Fläche r(u,v) mit Tangentenvektoren ru und rv ist der Normalenvektor n = ru × rv. Die Tangentialebene an die Fläche in p = r(u0,v0) hat dann die Gleichung n · (x − p) = 0. So bestimmt sich die Oberflächenebene lokal durch die ersten Ableitungen der Fläche.

Eine Ebene kann auch durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte bestimmt werden oder durch zwei sich schneidende Geraden. In der Praxis werden Ebenen aus Messpunkten oft durch Regression (Methode der kleinsten Quadrate) approximiert.

Anwendungen finden sich in der Computergraphik, im CAD, in Geoinformationssystemen sowie in der Modellierung von Oberflächen und in der Meshing-Technik. Siehe auch Ebene, Tangentialebene, Normalenvektor.